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By Walter Gubler

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9. Sei R ein Integrit¨ atsbereich und a ∈ R mit a = 0, so gilt: i) Ist a prim, so ist a auch irreduzibel. ii) Falls R ein Hauptidealbereich ist und a irreduzibel, so ist a prim. 3. HAUPTIDEALE 65 Beweis: i) Ist a = bc, so gilt entweder a|b oder a|c. Sei nun oBdA b = da gesetzt. Damit ist a(1 − cd) = 0 und, da a = 0, c eine Einheit. Folglich ist a irreduzibel. ii) Sei a|bc und wir nehmen an, dass a kein Teiler von b ist. Damit ist ggT(a, b) = 1, da a irreduzibel. 8 gilt somit xa + yb = 1 f¨ ur x, y ∈ R und es ist folglich c = xac + ybc erf¨ ullt.

38). F¨ ur nicht-abelsche Gruppen ist die Klassifikation bis auf Isomorphie eine unl¨ osbare Aufgabe. Mit viel Hirn- und Computerarbeit wurde die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen erreicht. Eine einfache Gruppe heißt einfach, wenn sie nur sich selber ¨ und {e} als Normalteiler hat. org/wiki/Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation . 1 Ringe In der Schule lernt man schon fr¨ uh den Ring Z kennen. Als weiteres Leitbeispiel f¨ ur dieses Kapitel soll man sich den Ring der Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten in einem K¨orper vor Augen halten.

Die Permutationsgruppe und wird mit S(X) bezeichnet. 9. Sei nun V ein Vektorraum u ¨ber einem K¨orper K. Wir betrachten GL(V ) := {ϕ : V → V | ϕ Vektorraumisomorphismus} Aus der linearen Algebra wissen wir, dass GL(V ) eine Untergruppe von S(V ) ist. Dazu ist uns -ebenfalls aus der linearen Algebra- die Determinante bekannt. F¨ ur einen endlichdimensionalen Vektorraum V ist sie ein Gruppenhomomorphismus det : GL(V ) → K ∗ . Im Fall V = K n identifiziert man die linearen Selbstabbildungen mit n × n-Matrizen.

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